You are here

Задачи 991-1000

991. В 9 часов самоходная баржа вышла из пункта А вверх по реке и прибыла в пункт В. Спустя 2 часа по прибытию в пункт В, эта баржа вышла в обратном направлении и прибыла в А в 19 часов 20 минут того же дня. Определить во сколько баржа прибыла в пункт В, если скорость течения 3 км/час, а расстояние АВ=60 км.

Решение. Обозначим через x скорость баржи в стоячей воде. Тогда скорость баржи против течения (при движении вверх по реке) составляет x - 3 км/час, а по течению x + 3 км/час. На путь от A до B барже понадобится часов, а на обратный путь часов и, кроме этого времени, еще 2 часа на остановку в B. По условию задачи весь путь займет 19 часов 20 минут - 9 часов = 10 часов 20 минут = часов. Получим уравнение:



откуда, при получим уравнение
-25x2 + 360x + 225 = 0, или
5x2 - 72x - 45 = 0,
D = (-72)2 - 4·5·(-45) = 5184 + 900 = 6084,
, откуда x1 = -0,6, x2 = 15.
Отрицательное значение x1 = -0,6 скорости баржи не подходит по условию задачи, следовательно собственная скорость баржи 15 км/час. Тогда скорость баржи против течения 15 - 3 = 12 (км/час), поэтому на путь от A к B баржа потратит 60 / 12 = 5 часов, следовавтельно баржа прибудет в B в 9 + 5 = 14 часов.

Ответ. В 14 часов.

992. Расстояние между двумя городами автобус проезжает за 4 часа, а такси проезжает здесь за 2 часа. Через сколько времени они встретятся, если одновременно выедут из этих городов навстречу друг другу?

Решение. За один час такси проезжает расстояния между городами, а автобус . Если транспортные средства выедут навстречу друг другу, то за один час расстояние между ними будет сокращаться на части расстояния между городами. Следовательно, все расстояние между городами совместно они преодолеют за часа = 1 час 20 минут.

Ответ. 1 час 20 минут.

993. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км. выехал велокурьер. Спустя час из города А на мотоцикле выехал второй курьер, который встретил первого, и, предав ему поручение с той же скоростью вернулся назад. Второй курьер вернулся в А в той самый момент, когда первый приехал в В. Определить скорость первого курьера, если скорость второго 50 км/час.

Решение. Пускай скорость велокурьера x км/час, тогда за час он удалился от города A на x км. Следовательно второму курьеру, чтобы догнать первого понадобится часов, и столько же, чтобы вернуться в A, так как его скорость не изменилась. Первый курьер на путь от A к B потратит , что по условию задачи на 1 час больше, чем понадобится второму на проделанный им путь. Получим уравнение:




откуда, при получим уравнение
- x2 - 170x + 6000 = 0, или
x2 + 170x - 6000 = 0.
Из последнего уравнения, применяя теорему Виета, найдем x1 + x2 = -170, x1·x2 = -6000, следовательно, x1 = -200, x2 = 30. Отрицательное решение x1 = -200 км/час не подходит по условию задачи.

Ответ. 30 км/час.

994. Из города выехал микроавтобус. Спустя 10 минут после него из этого города в том же направлении выехала легковушка, которая обогнала микроавтобус на расстоянии 40 км от города. Найдите скорость микроавтобуса, если она на 20 км/час меньше скорости легкового автомобиля.

Решение.Пускай скорость микроавтобуса x км/час, тогда скорость легковушки x + 20 км/час. Расстояние в 40 км микроавтобус преодолеет за часов, а легковушка - за , что по условию задачи на 10 мин. = 1/6 часа меньше. Получим уравнение:




откуда, при получим уравнение
4800 - x2 - 20x = 0, или
x2 + 20x - 4800 = 0.
Из последнего уравнения, применяя теорему Виета, найдем x1 + x2 = -20, x1·x2 = -4800, следовательно, x1 = -80, x2 = 60. Отрицательное решение x1 = -80 км/час не подходит по условию задачи.

Ответ. 60 км/час.

995. Два автомобиля выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Спустя час они встретились и, не останавливаясь, продолжили двигаться с той же скоростью. Первый прибыл в В на 50 мин позже, чем второй в А. Найдите скорость каждого автомобиля, если расстояние между А и В составляет 100 км.

Решение. То, что автомобили встретилисть спустя час, а расстояние между А и В составляет 100 км означает, что вместе они преодолели 100 км за час. То есть совместная скорость движения автомобилей навстречу друг другу равна 100 км/час. Следовательно, если первый автомобиль (выехавший из пункта A) двигался со скоростью x км/час, то скорость второго автомобиля 100 - x км/час. В таком случае первый автомобиль преодолеет расстояние от A до B за часов. Второй автомобиль преодолеет расстояние от B до A за часов, что по условию задачи на 50 мин = 5/6 часа меньше, чем необходимо первому на путь от A до B. Получим уравнение:




откуда, при получим уравнение
5x2 - 1700x + 60000 = 0, или
x2 - 340x + 12000 = 0.
Из последнего уравнения, применяя теорему Виета, найдем x1 + x2 = 340, x1·x2 = 12000, следовательно, x1 = 40, x2 = 300. Решение x2 = 300 км/час не подходит по условию задачи, так как с такой скоростью первый автомобиль за час сам смог бы преодолеть расстояние между A и B трижды. Следовательно, скорость первого автомобиля 40 км/час, тогда скорость второго - 100 - 40 = 60 (км/час).

Ответ. 40 км/час и 60 км/час.

В заключительной части раздела хотелось бы заметить, что задачи на составление уравнений могут составлять весомую часть, скажем, в работе для репетиторов. С одной стороны причина в том, что здесь представлены самые разнообразные математические модели: движение, совместная работа, процентный прирост, концентрации и т. д. С другой - материал этого раздела равномерно распределен по всей школьной программе, начиная от младших классов и заканчивая выпускными.

996. Два велосипедиста одновременно выехали из пункта А в одном направлении. Скорость первого из них 7 км/час, а второго – 10 км/час. Через 30 минут после этого из пункта А в том же направлении выехал третий велосипедист, который настиг второго велосипедиста через 1,5 часа после того, как обогнал первого. Найти скорость третьего велосипедиста.

Решение. В момент выезда из пункта А третьего велосипедиста расстояние между первым и третим велосипедистом будет составлять 7 км/час·30 мин = 7 км/час·0,5 часа = 3,5 км, а между вторым и третим 10 км/час·30 мин = 10 км/час·0,5 часа = 5 км. Пускай третий велосипедист движется со скоростью x км/час, тогда он настигнет первого через часов, а второго через , что, по условию задачи, составляет на 1,5 часа больше. Получим уравнение:

Решим полученное уравнение:



1,5x2 - 27x + 105 = 0, для всех x, отличных от 7 и 10,
3x2 - 54x + 210 = 0,
x2 - 18x + 70 = 0,
D = (-18)2 - 4·1·70 = 44,

Скорость (км/час) не подходит по условию задачи, так как при такой скорости третий велосипедист не обгонит ни второго ни первого. Следовательно, скорость третьего велосипедиста км/час.

Ответ. км/час.

997. Из пункта А в оном и том же направлении одновременно выехали два автомобиля. Часом позже вдогонку им выехал третий. Спустя еще час расстояние между первым и третьим автомобилями сократилось в полтора раза, а между вторым и третьим – вдвое. Скорость какого из автомобилей – первого или второго больше? Во сколько раз?

Решение. Пускай скорость первого автомобиля v1 км/час, второго - v2 км/час, третьего - v3 км/час. Тогда за первый час первый автомобиль удалится от пункта А на v1 км, а второй на v2 км. По истечении второго часа первый автомобиль удалится от пункта А на 2v1 км, второй на 2v2 км, а третий на v3 км.
Расстояние между первым и третьим автомобилями по истечению первого часа составляло v1 км, так как третий автомобиль еще находился в пункте А. По истечению второго часа расстояние между первым и третим автомобилями составит 2v1 - v3 км, а это, по условию задачи, в 1,5 раза меньше, чем расстояние после первого часа. Получим уравнение:
v1 = 1,5(2v1 - v3),
v1 = 3v1 - 1,5v3,
2v1 = 1,5v3,
4v1 = 3v3,
откуда
.
По истечению второго часа расстояние между вторым и третим автомобилями составит 2v2 - v3 км, а это, по условию задачи, в 2 раза меньше, чем расстояние после первого часа. Получим уравнение:
v2 = 2(2v2 - v3),
v2 = 4v1 - 2v3,
3v1 = 2v3,
откуда
.
Следовательно скорость первого автомобиля больше в раз.

Ответ. Скорость первого автомобиля в 1,125 раз больше.

998. Два велосипедиста выехали одновременно из двух разных городов, расстояние между которыми 270 км, и едут навстречу друг другу. Второй из них за каждый час проезжает на 1,5 км меньше первого. Определить скорость каждого велосипедиста, если известно, что встретятся они через столько часов, сколько километров в час проезжает первый велосипедист.

Решение. Пускай первый велосипедист проезжает x километров в час, тогда второй - x - 1,5 километров в час. За один час расстояние между велосипедистами сокращается на x + x - 1,5 = 2x - 1,5 километров. По условию задачи велосипедисты будут в пути x часов (столько часов, сколько километров в час проезжает первый велосипедист), за это время они преодолеют путь (2x - 1,5)·x километров, который равен расстоянию между городами, что составляет 270 км. Получим уравнение:
(2x - 1,5)·x = 270.
Решаем полученное квадратное уравнение:
2x2 - 1,5x - 270 =0,
4x2 - 3x - 540 =0,
D = (-3)2 - 4·4·(-540) = 8649.

x1 = -11,25, x2 = 12.
По содержанию задачи отрицательный корень x1 = -11,25 не подходит. Следовательо, первый велосипедист проезжает 12 км в час, а второй - 12 - 1,5 = 10,5 (км в час).

Ответ. Первый 12 км в час, второй 10,5 км в час.

999. За 5 кг конфет и 4 кг печенья заплатили 930 р. Сколько стоит 1 кг конфет и сколько 1 кг печенья, если 3 кг конфет стоят на 228 р. больше, чем 2 кг печенья?

Решение. Пускай 1 кг конфет стоит x р, а 1 кг печенья - y кг. Тогда 5 кг конфет и 4 кг печенья стоит 5x + 4y рублей, а по условию это составляет 930 р. Получим уравнение:
5x + 4y = 930.
В свою очередь, 3 кг конфет стоят 3x рублей, что по условию на 228 р. больше, чем 2 кг печенья, то есть 2y + 228. Получим уравнение:
3x = 2y + 228.

Решим полученную систему уравнений:
5x + 4y = 930,
3x = 2y + 228.
Перенеся слагаемое содержащее неизвестное y в левую часть второго уравнения и умножив обе его части на 2, получим:
5x + 4y = 930,
6x - 4y = 456.
Сложив оба уравнения получим:
11x = 1386,
откуда x = 126 р., а y= (3x - 228):2 = (378 - 228):2 = 75(р.).

Ответ. 1 кг конфет стоит 126 р, а 1 кг печенья - 75 р.

1000. С одного поля собрали по 40 центнеров ячменя с гектара, а со второго – по 35 центнеров с гектара. Всего было собрано 2600 ц. На следующий год урожайность первого поля повысилась на 10%, второго – на 20%, а весь собранный урожай увеличился на 400 ц. Найдите площадь каждого поля.

Решение. Сначала вычислим урожайность полей на следующий год. Первое поле:
40 + 40·10%/100% = 44 (центнеров с гектара),
второе поле:
35 + 35·20%/100% = 42 (центнера с гектара).

Пускай площадь первого поля составляет x гектаров, а второго - y. Тогда на первый год должны были собрать 40x + 35y центнеров ячменя, а по условию это составляет 2600 ц. Получим уравнение:
40x + 35y = 2600.
На следующий год должны собрать 44x + 42y центнеров ячменя, а по условию это на 400 центнеров больше, чем в предыдушем году,то есть 2600 + 400 = 3000 (ц.). Получим уравнение:
44x + 42y = 3000.

Решим полученную систему уравнений:
40x + 35y = 2600,
44x + 42y = 3000.
Из первого уравнения найдем x = 65 - 0,875y и подставим во второе уравнение. Получим:
44·(65 - 0,875y) + 42y = 3000,
2860 - 38,5y + 42 y = 3000,
3,5y = 140,
откуда y = 40, а x = 65 - 0,875·40 = 65 - 35 = 30.

Ответ. Первое поле 30 га, второе - 40 га.

Вернуться в задачник

Undefined
author: 
admin
Категория: 
Раздел: