You are here

Задачи 976-990

976. Три бригады, работая с постоянной производительностью, вместе прокладывают железную дорогу. Первая и третья бригады, работая вместе прокладывают 15 км полотна в месяц. Три бригады прокладывают в месяц вдвое больше полотна, чем первая и вторая бригады вместе. Сколько железнодорожного полотна в месяц может проложить третья бригада, работая самостоятельно, если известно, что вторая бригада вместе с третей проложили некоторый участок вчетверо быстрее, чем это смогла бы сделать вторая бригада самостоятельно.

Решение. Пускай первая бригада прокладывает x км полотна в месяц, вторая - y, третья - z. Тогда по условию задачи x + z =15, а x + y + z = 2(x + y). Из того, что вторая бригада вместе с третей проложили некоторый участок вчетверо быстрее, чем это смогла бы сделать вторая бригада самостоятельно, моєно сделать вывод, что за одно и то же время вторая бригада вместе с третей прокладывают вчетверо больше километров полотна, чем вторая бригада самостоятельно. Следовательно, y + z = 4y. Получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными

или

Из первого уравнения получим x = 15 - z, подставив это выражение во второе уравнение, полуим 15 - z + y - z = 0, откуда y = 2z - 15. Подставив полученное для y выражение в последнее уравнение системы, получим:
2z - 15 + z = 8z - 60,
-5z = -45,
z = 9.
Третья бригада самостоятельно может проложить 9 км железнодорожного полотна в месяц.

Ответ. 9 км/месяц.

977. Один пешеход проходит расстояние от пункта А до пункта В за 3 часа, второй – за 6. Через какое время они встретятся, если выдут одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу?

Решение. Первый пешеход за один час проходит расстояния от А до В, а второй - этого растояния. Если пешеходы будут двигаться навстречу друг другу, то за один час расстояние между ними будет сокращаться на часть расстояния между А и В. Следовательно, чтобы преодолеть все расстояние им понадобиться 2 часа.

Ответ. 2 часа.

978. Для того, чтобы добраться до стадиона и вернуться обратно, Васе понадобится 40 минут в том случае, если туда он идет пешком, а возвращается автобусом. Если он едет на автобусе в обе стороны, то на весь путь уйдет 16 минут. Сколько времени ему понадобится, чтобы добраться до стадиона и вернуться домой пешком?

Решение. Считая движение автобуса равномерным, найдем время движения автобуса от стадиона до дома Васи:
16 : 2 = 8 (мин.).
Если за 40 минут Вася идет пешком до стадиона и возвращается на автобусе, то пешком до стадиона он идет:
40 - 8 = 32 (мин.).
Следовательно, чтобы добраться до стадиона и вернуться домой пешком Васе понадобится:
32 · 2 = 64 мин. = 1 час 4 минуты.

Ответ. 1 час 4 минуты.

979. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 30 км, велосипедист проехал с определенной скоростью, а возвращался со скоростью на 3 км/час большей и потратил на 30 минут меньше, чем на дорогу из А в В. Найдите начальную скорость велосипедиста.

Решение. Пускай из А в В велосипедист ехал со скоростью x км/час, тода его скорость на обратном пути составляла x + 3 км/час. Из А в В он проехал за часов, а ообратно за часов, что по условию задачи составило на 30 минут = 0,5 часа меньше. Получим уравнение:



из которого, при условии, что получим уравнение
-x2 - 3x + 180 = 0, или
x2 + 3x - 180 = 0,
применяя к которому теорему Виета, найдем x1 = -15, x2 = 12.
Так как скорость, по условию задачи, не может быть отрицательной, то начальная скорость велосипедиста составляет 12 км/час.

Ответ. 12 км/час.

980. Первую половину пути, составляющую 20 км, велосипедист двигался со скоростью, которая на 5 км/час больше скорости с которой он одолел последние 20 км. С какой скоростью проехал велосипедист вторую половину пути, если на все он потратил 3 ч. 20 мин?

Решение. Пускай вторую половину пути велосипедист проехал со скоростью x км/час, тода его скорость вначале составляла x + 5 км/час. Тогда первые 20 километров он проехал за часов, а остальные 20 км за часов, что по условию задачи составило 3 часа 20 минут = часа. Получим уравнение:



из которого, при условии, что получим уравнение
-10x2 + 70x + 300 = 0, или
x2 - 7x - 30 = 0,
применяя к которому теорему Виета, найдем x1 = -3, x2 = 10.
Так как скорость, по условию задачи, не может быть отрицательной, то скорость с которой велосипедист проехал вторую половину пути составляет 10 км/час.

Ответ. 10 км/час.

981. Поезд должен был проехать 64 км. Когда он проехал 24 км, то задержался у семафора на 12 мин. Тогда он увеличил скорость на 10 км/час и прибыл в пункт назначения с опозданием в 4 минуты. Найдите начальную скорость поезда.

Решение. Пускай начальная скорость поезда x км/час, тода его скорость после остановки x + 10 км/час. Участок в 64 километра поезд дожен был преодолеть за часов. Вместо этого он проехал 24 км с начальной скоростью за часов, остановился на 12 минут = 12/60 часа = 0,2 часа и 60 км - 24 км = 40 км преодолел с новой скоростью за часов, потратив при этом на 4 мин = 4/60 часа = 1/15 часа больше. Получим уравнение:




откуда, при получим уравнение
-2x2 - 20x + 6000 = 0, или
x2 + 10x - 3000 = 0,
D = (10)2 - 4·1·3000 = 100 + 12000 = 12100,
, откуда x1 = -60, x2 = 50.
Так как скорость поезда не может быть отрицательной, то корень x1 = -60 км/час отбрасываем, следовательно начальная скорость поезда 50 км/час.

Ответ. 50 км/час.

982. Поезд задержался в дороге на 12 мин, а потом на участке в 60 км наверстал упущенное время, увеличив скорость на 15 км/час. Определить начальную скорость поезда.

Решение. Обозначим через x скорость, с которой должен был двигаться поезд, настоящая скорость его движения составляла x + 15 км/час. Следовательно, участок 60 километров поезд дожен был преодолеть за часов, а на самом деле он это сделал за часов, что составило на 12 минут = 12/60 часа = 0,2 часа меньше. Получим уравнение:



откуда, при получим уравнение
-x2 - 15x + 4500 = 0, или
x2 + 15x + 4500 = 0,
D = (15)2 - 4·1·4500 = 225 + 18000 = 18225,
, откуда x1 = -75, x2 = 60.
Отрицательную скорость x1 = -75 км/час не рассматриваем, следовательно начальная скорость поезда 60 км/час.

Ответ. 60 км/час.

983. Машинист пассажирского поезда, который двигался со скоростью 56 км/час заметил, что встречный товарный поезд, который двигался со скоростью 34 км/час, прошел мимо него за 15 с. Какова длина товарного поезда?

Решение. Длина товарного поезда равна расстоянию, которое он пройдет за 15 секунд относительно машиниста пассажирского поезда. Скорость товарного поезда относительно машиниста пассажирского равна сумме скоростей поездов (так как они движутся навстречу друг другу), то есть 56 км/час + 34 км/час = 90 км/час = 90000 м/час = 1500 м/мин. = 25 м/с. Следовательно за 15 секунд начало товарного поезда удалится от машиниста пассажирского на 15с·25м/с = 375 м.

Ответ. Длина товарного поезда 375 метров.

984. В соревнованиях по бегу на дистанции 120 м. участвуют 3 бегуна. Скорость первого из них больше скорости второго на 1 м/с, а скорость второго равна полусумме скоростей первого и третьего. Определить скорость третьего бегуна, если известно, что первый пробежал дистанцию на 3 с. быстрее третьего.

После задачи о спортсменах впору немного отвлечься на разговор о спортивном снаряжении. Взглянем, например, на современную спортивную обувь по адресу /obuv?category=2&brand=Nike.  Даже по фото несложно догадаться, что бегуны из нашей задачи смогли бы показать гораздо лучшие скорости, используя представленные здесь спортивные аксесуары.

Решение. Пускай скорость второго спортсмена x м/с, а третьего y м/с. Тогда скорость первого составит x + 1 м/с, а из того, что скорость второго бегуна равна полусумме скоростей первого и третьего получим равенство:

из которого найдем:
2x = x + 1 + y, то есть y = x - 1. Следовательно, если скорость второго бегуна x м/с, то скорость первого x + 1 м/с, а третьего x - 1 м/с.
Первый бегун пробежит 120 м за секунд, а третий за секунд, что по условию задачи на 3 секунды больше. Получим уравнение:



откуда, при получим уравнение
3x2 - 243 = 0, разделив обе части которого на 3, получим:
x2 - 81 = 0,
откуда
x1 = -9, x2 = 9. Так как отрицательные значения скорости не рассматриваем, то скорость второго бегуна составляет 9 м/с, тогда скорость третьего спортсмена составит 9 + 1 = 10 (м/с).

Ответ. 10 м/с.

985. Марина идет из дома в школу 9 мин, а ее брат Дима добегает до школы и без остановки возвращается назад за 12 мин. Во сколько раз скорость, бега Димы больше скорости ходьбы Марины?

Решение.1) Если маршрут в школу и обратно занимает у Димы 12 минут, то до школы он добегает за 12 : 2 = 6 (мин.).
2) Если расстояние от дома до школы составляет S метров, то скорость Марины м/мин., а скорость Димы м/мин.
Значит, скорость Димы больше скорости Марины в = 1,5 раза.

Ответ. 1,5 раза.

986. Лодка прошла 5 км по течению реки и 3 км против течения, потратив на весь путь 40 мин. Скорость течения составляет 3 км/час. Найдите скорость движения лодки по течению.

Решение. Пускай собственная скорость лодки x км/час. Тогда скорость движения лодки по течению составит x + 3 км/час, и 5 км по течению лодка преодолеет за часов. Cкорость движения лодки против течения составляет x - 3 км/час и 3 км против течения лодка преодолеет за часов. На весь маршрут лодке понадобится часов, что по условию задачи, составляет 40 минут = часа. Получим уравнение:



откуда, при получим уравнение
-2x2 + 24 = 0, разделив обе части которого на -2 и вынеся x за скобки, получим:
x(x - 12) = 0,
откуда
x1 = 0, x2 = 12. Согласно условию, нулевое значения собственной скорости лодки не рассматриваем, следовательно, собственная скорость лодки 12 км/час.

Ответ. 12 км/час.

987. Расстояние между двумя причалами на речке равно 30 км. Катер проходит этот путь туда и обратно за 2 часа 15 минут. Определите скорость течения, если собственная скорость катера равна 27 км/час.

Решение. Пускай скорость течения x км/час. Тогда скорость движения катера против течения составит 27 - x км/час, а скорость по течению - 27 + x км/час. Расстояние между причалами против течения катер преодолеет за часов, а по течению - часов, что по условию задачи, составляет 2 часа 15 минут = = 2,25 часа. Получим уравнение:


откуда, при получим уравнение
1620 - (729 - x2) · 2,25 = 0, разделив обе части которого на 2,25 получим:
720 - 729 + x2 = 0, или
x2 - 9 = 0,
откуда
x1 = -3, x2 = 3. Согласно условию, отрицательные значения скорости не рассматриваются, следовательно, скорость течения 3 км/час.

Ответ. 3 км/час.

988. Лодка спускается вниз по течению реки на расстояние 10 км, а потом поднимается вверх против течения на 6 км. Скорость течения 1км/час. В каких пределах должна быть собственная скорость лодки, чтобы все путешествие длилось от 3 до 4 часов.

Решение. Обозначим через x собственную скорость лодки. Тогда скорость ее движения против течения составит x - 1 км/час, а по течению x + 1 км/час. На 10 километров по течению она потратит часов, а на 6 километров против течения - . То есть, все путешествие на лодке займет часов, что, по условию задачи, дожно составлять от 3 до 4 часов. Получим неравенство:

Чтобы не обременять себя решением двойного дробно-рационального (квадратического, по сути) неравенства, заметим, что скорость и время движения обратно пропорциональны (чем бальше скорость, те меньше понадобится времени на один и тот же путь). То есть, скорость должна находится в пределах от той, которая необходима, чтобы лодка проделала путь за 4 часа до скорости, при которой лодка управиться за 3 часа. Следовательно, нужно решить два уравнения:
а) и б)
а)

откуда, при получим уравнение
-4x2 + 16x = 0, или
x(x - 4) = 0,
откуда
x1 = 0, x2 = 4.
Так как собственная скорость лодки не может равняться нулю по условию задачи, то она дожна быть не меньше 4 км/час.
б)

откуда, приполучим уравнение
-3x2 + 16x - 1 = 0, или
3x2 - 16x + 1 = 0,
D = (-16)2 - 4·3·1 = 256 - 12 = 244,
.
Скорость < 1 км/час не подходит по условию задачи, так как она меньше скорости течения (в таком случае лодка не сможет двигаться против течения). Следовательно, собственная скорость лодки не дожна превышать км/час.

Ответ. От 4 до км/час.

989. Турист проплыл на моторной лодке 25 км против течения речки и вернулся назад на плоту. Найдите скорость течения, если на плоту турист плыл на 10 часов дольше, чем на лодке, а собственная скорость лодки – 12 км/час.

Решение. Пускай скорость течения x км/час. Тогда скорость движения моторной лодки против течения составит 12 - x км/час, а скорость плота равна скорости течения, то есть, x км/час. Путь против течения на моторной лодке турист преодолеет за часов, а на плоту турист будет путешествовать часов, что по условию задачи, составляет на 10 часов больше. Получим уравнение:


откуда, при получим уравнение
-10x2 + 170x - 300 = 0, или
x2 - 17x + 30 = 0.
Используя теорему Виета, найдем
x1 + x2 = 17, x1·x2 = 30, откуда x1 =  2, x2 = 15.
Скорость течения x2 = 15 км/час не подходит по условию задачи, так как она больше скорости моторной лодки, и лодка не будет двигаться против течения. Следовательно, скорость течения 2 км/час.

Ответ. 2 км/час.

990. Пароход прошел по речке 4 км против течения, а потом еще 33 км по течению, потратив на весь путь 1 час. Найти собственную скорость парохода, если скорость течения – 6,5 км/час.

Решение. Обозначим через x собственную скорость парохода. Тогда скорость его движения против течения составит x - 6,5 км/час, а по течению x + 6,5 км/час. 4 километра против течения пароход преодолеет за часов, а на 33 километра по течению ему понадобится часов, что вместе, по условию задачи, составляет 1 час. Получим уравнение:



откуда, при получим уравнение
-x2 + 37x - 146,25 = 0, или
x2 - 37x + 146,25 = 0,
D = (-37)2 - 4·1·146,25 = 1369 - 585 = 784,
, откуда x1 =  4,5, x2 = 32,5.
Скорость x1 = 4,5 км/час не подходит по условию задачи, так как она меньше скорости течения (в таком случае пароход не сможет двигаться против течения), следовательно собственная скорость парохода 32,5 км/час.

Ответ. 32,5 км/час.

Вернуться в задачник

Undefined
author: 
admin
Категория: 
Раздел: