You are here

Задачи 966-975

966. Из 20 клиентов школы иностранных языков двое изучали только испанский язык, трое – только итальянский и шестеро – только греческий. Никто не изучал трех языков одновременно. Один изучал испанский и итальянский, трое – испанский и греческий. Сколько людей изучали итальянский и греческий языки одновременно?

 

Решение. Каждый из 20 клиентов школы изучал либо один, либо два иностранных языка. Только один язык изучали 2 + 3 + 6 = 11 человек, следовательно, два языка одновременно изучали 20 - 11 = 9 человек. По условию из 9 человек изучавших два иностранных языка одновременно 1 изучал испанский и итальянский, 3 – испанский и греческий, следовательно, итальянский и греческий языки одновременно изучали 9 - (1 + 3) = 5 клиентов школы.

Ответ. 5.

967. В спортивной школе 65% ребят занимаются футболом, 70% – волейболом, 75% – баскетболом. Каков наименьший возможный процент воспитанников спортшколы, которые занимаются всеми тремя видами?

Решение. Очевидно, что количество воспитанников спортшколы, занимающихся всеми тремя видами спорта тем меньше, чем меньше тех, кто занимается только одним видом и больше тех, кто занимается двумя. Допустим, что все ребята занимаются, как минимум, двумя видами спорта. Тогда 100% - 65% = 35% спортсменов не занимающихся футболом должны заниматься только волейболом и баскетболом одновременно. Следовательно, 70% - 35% = 35% - занимаются волейболом и футболом, а 75% - 35% = 40% баскетболом и фтутболом. В таком случае, двумя видами спорта должны заниматься 35% + 35% + 40% = 110% воспитанников спортшколы, а это возможно лишь тогда, когда 110% - 100% = 10% будут заниматься всеми тремя видами одновременно.

Ответ. 10%.

968. В бою 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 – ухо, 80 получили ранение в руку, 85 – в ногу. Каково минимально возможное количество пиратов, получивших все четыре ранения?

Решение. В бою не повредили глаза 100 - 70 = 30 пиратов, уши - 100 - 75 = 25, с уцелевшими руками осталось 100 - 80 = 20, а ногами - 100 - 85 = 15. Следовательно максимальное число пиратов не получивших хотя бы одно из четырех ранений составляет 30 + 25 + 20 + 15 = 90, значит наименьшее число пиратов получивших все четыре ранения 100 - 90 = 10.

Ответ. 10.

969. Двое рабочих выполнили всю работу за 10 дней, причем последних два дня первый из них не работал. Сколько дней нужно первому рабочему, чтобы самому выполнить эту работу, если известно, что за 7 дней они вместе выполнили 80% всей работы.

Решение. Приняв за единицу всю выполненую работу заметим, что из того, что за 7 дней рабочие вместе выполнили 80% всей работы следует, что за один день вместе рабочие выполняли всей работы. Так как первый рабочий последних два дня не работал, то вместе рабочие проработали 10 - 2 = 8 дней, и за это время успели выполнить всей работы. Следовательно второму рабочему на последние два дня осталось выполнить работы, то есть по в день. Итак, вместе рабочие выполняли по работы в день, причем второй - . Следовательно, первый рабочий выполнял всей работы за один день, поэтому всю работу сам он смог бы выполнить за дней.

Ответ. 14.

970. Бак наполняется двумя кранами А и В. Наполнение бака одним краном А длится на 22 минуты дольше, чем одним краном В. Если открыть оба крана – бак наполнится за 1 час. Сколько времени нужно для наполнения бака каждому из кранов по отдельности?

Решение. Пускай наполнение бака краном B длится x минут, тогда наполнение бака краном A будет длится x + 22 минут, а двумя кранами одновременно 1 час = 60 минут. Следовательно, за одну минуту кран B наполняет часть бака, а кран А часть бака. Оба крана вместе за одну минуту наполняют часть бака, что, с другой стороны, составляет часть бака. Получим уравнение:
или

Из последнего уравнения, при условии, что по основному свойству пропорции получим уравнение
x2 + 22x = 120x + 1320, или
x2 - 98x - 1320 = 0,
применяя к которому теорему Виета (x1+x2 = 98, x1x2 = -1320), найдем x1 = -12, x2 = 110.
Так как время наполнения бака не может быть отрицательным, то время наполнения бака краном B будет длиться 110 минут = 1 ч. 50 мин. Тогда кран А наполнит бак за 110 минут + 22 минут= 132 минут = 2 ч. 12 мин.

Ответ. 1 ч. 50 мин. и 2 ч. 12 мин.

971. Бригада из трех тракторов (два трактора марки А и один марки В) при одновременной работе спахала поле площадью 400 га за 10 суток. Трактор марки В спашет это поле на суток раньше, чем один трактор марки А. Сколько гектаров в сутки пашет трактор марки А и трактор марки В (по отдельности)?

Решение. Пускай трактор марки B может спахать все поле за x суток, следовательно в сутки он будет пахать . Тогда по условию задачи трактор марки A может спахать все поле за суток, он в сутки будет пахать . Два трактора марки А и один марки В при одновременной работе в сутки пашут гектаров поля, что по условию составит 400:10 = 40 (га). Получим уравнение




Из последнего уравнения при получим квадратное уравнение
3x2 - 65x - 250 = 0.
D = 652 - 4·3·(-250) = (13·5)2 + 12·250 = 132·52 + 12·52·10 = 52·(132 + 12·10) = 52·(169 + 120) = 52·289 = 52·172 = (5·17)2 = 852.

Так как x - количество суток и не может быть отрицательным, то Итак, трактор марки B может спахать все поле за 25 суток, следовательно в сутки он будет пахать (га). А трактор марки A будет пахать все поле суток, следовательно, за одну сутку (га).

Ответ. 12 га и 16 га.

972. К резервуару объемом 24 м3 подведены две трубы. Через первую из них можно только выпускать воду из резервуара со скоростью 2 м3/час, вторая труба может только наполнять резервуар. Когда резервуар был пуст, одновременно открыли обе трубы. После того как резервуар был наполнен наполовину, первую трубу перекрыли, а вторая продолжала подавать воду. Полностью резервуар был наполнен за 28 ч. 48 мин. Какой объем воды в час подает вторая труба?

Решение. Пускай вторая труба наполняет резервуар со скоростью x м3/час, тогда, если открыть обе трубы резервуар будет наполнятся соскоростью x - 2 м3/час. Следовательно, первая половина резервуара (12  м3) наполнялась со скоростью x - 2 м3/час за часов, а вторая - со скоростью x м3/час за часов, что вместе составило 28 ч. 48 мин. = 28,8 ч. Получим уравнение:



Из последнего уравнения при получим квадратное уравнение
-28,8x2 + 81,6x - 24 = 0, разделив обе части которого на -4,8, получим уравнение
6x2 - 17x - 5 = 0.
D = (-17)2 - 4·6·5 = 289 - 120 = 169 = 132,

x1 = 1/3; x2 = 2,5.
Скорость наполнения резервуара первой трубой не может быть меньше скорости выпускания воды второй трубой, так как в противном случае резервуар никогда не будет наполнен, следовательно решение x1 = 1/3 не соотвествует условию задачи.

Ответ. 2,5 м3/час.

973. Для разгрузки парохода наняли две бригады грузчиков. Сумма времени, необходимого для самостоятельного выполнения всей работы первой бригаде, и времени, необходимого для самостоятельного выполнения всей работы второй бригаде, составляет 12 часов. Найти эти значения времени, если известно, что их разность составляет 45% от времени, необходимого двум бригадам для совместного выполнения всей работы.

Решение. Пускай первая бригада может выполнить всю работу за x часов, тогда, по условию задачи, второй бригаде для выполнения всей работы понадобится 12 - x часов. Для того, чтобы определить сколько времени понадобиться бригадам для совместного выполнения работы, заметим, что за один час первая бригада может выпотнить часть работы, а вторая - . Следовательно, вместе бригады за час выполняют часть работы, то есть, совместно вся работа будет выполнена за часов. Поскольку разность времени, необходимого бригадам для выполнения отдельно всей работы составляет 45% от времени, необходимого двум бригадам для совместного выполнения работы, то получим уравнение:
или

Из последнего уравнения получим квадратное уравнение
160x - 960 = 36x - 3x2,
или
3x2 + 124x - 960 = 0.
D = 1242 - 4·3·(-960) = (4·31)2 + 4·3·4·240 = 42(312 + 3·240) = 42(961 + 720) = 42·1681 = 42·412 = (4·41)2 = 1642,

отрицательный корень x1 = -36, очевидно, не соответсвует условию задачи, следовательно, для выполнения работы одной из бригад понадобится часов = 6 часов 40 минут. Тогда второй бригаде нужно 12 часов - 6 часов 40 минут = 5 часов 20 минут.

Ответ. 6 часов 40 минут и 5 часов 20 минут.

974. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание на 15 часов раньше, чем бригада учеников. Если бригада учеников будет выполнять это задание 18 часов, а после этого бригада слесарей поработает над ним еще 6 часов, то будет выполнено только 0,6 всего задания. Сколько времени понадобится бригаде учеников для самостоятельного выполнения всего задания?

Решение. Пускай бригада учеников может выполнить задание за x часов, тогда, по условию задачи, бригаде слесарей для его выполнения понадобится x - 15 часов. Тогда за один час бригада учеников может выпотнить часть задания, а бригада слесарей - . Следовательно, бригада учеников за 18 часов и бригада слесарей за 6 часов выполнят часть задания, а по условию это составляет 0,6. Получим уравнение:
разделив обе части которого на 0,6, получим
или

Из последнего уравнения при получим квадратное уравнение
40x - 450 - x2 + 15x = 0,
или
x2 - 55x + 450 = 0.
Откуда, используя теорему Виета (x1 + x2 = 55, x1·x2 = 450), находим x1 = 10 x2 = 45. Корень x1 = 10 < 15, очевидно, не соответсвует условию задачи, следовательно, для выполнения задания бригаде учеников понадобится 45 часов.

Ответ. 45.

975. Два насоса перекачали 64 м3 воды. Они начали работать одновременно и с одинаковой производительностью. После того, как первый из них перекачал 9 м3, его остановили на 1 ч. 20 мин. После перерыва производительность первого насоса увеличили на 1 м3/час. Определить начальную производительность насосов, если первый за все время работы перекачал 33 м3 воды.

Решение. Обозначив начальную производительность насосов x м3/час, тогда производительность первого насоса после остановки x + 1 м3/час. До остановки первого насоса было перекчано 2·9 м3 = 18 м3, следовательно останется перекачать 64 м3 - 18 м3 = 46 м3. По условию задачи, первый насос перекачал 33 м3 из них  33 м3 - 9 м3 = 24 м3 после остановки, следовательно, второй насос после остановки первого перекачал 46 м3 - 24 м3 = 22 м3. Так как производительность второго насоса не изменилась, то он после остановки работал часов. Следовательно, первый насос проработал после остановки часов, перекачав при этом м3, что согласно условию составляет 24 м3. Получим уравнение:
или

Из последнего уравнения при получим квадратное уравнение
62x - 4x2 + 66 - 72x = 0,
или
2x2 + 5x - 33 = 0.
D = 52 - 4·2·(-33) = 25 + 264 = 289 = 172,

отрицательный корень x1 = -5,5, очевидно, не соответсвует условию задачи, следовательно, начальная производительность насосов составляла 3 м3.

Ответ. 3.

Вернуться в задачник

Как удачно заметили наши коллеги из Перми (контрольная в Перми), представленные тут задачи слишком громоздки проведения тестирования по предмету. Они более близки к задачам для письменных контрольных работ. Задачи же для тестов по математике должны иметь решения, состоящие из нескольких элементарных фактов или утверждений.
Undefined
author: 
Admin
Категория: 
Раздел: