Вы здесь

как найти произведение числа и суммы его цифр


Гость
Дата: Среда, 30.11.2011, 22:09 | Сообщение # 1

Помогите развернуто решить 2 задачи:
1. произведение числа и суммы его цифр равно 5760. Найти это число.
2. произведение числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равно 1944. Найдите эти числа.


Shuler
Дата: Четверг, 01.12.2011, 09:52 | Сообщение # 2

Думаю, главный вопрос - как записать число состоящее из неизвестных цифр.
В десятичной системе исчисления число разлагают по степеням числа.
Например четырехзначное число abcd, состоящее из цифр a, b, c, d,
записывается как 1000a + 100b + 10c + d.

Начнем с задачи 2.
Очевидно, оба числа имеют одинаковое количесво цифр, а точнее ровно 2, так как
10*10 = 100 < 1944 < 10000 = 100*100 (т.е., произведение трехзначных чисел должно быть значительно больше 1944).
Итак, пускай искомое число ab = 10a + b, тогда число записанное теми же цифрами в обратном порядке ba = 10b + a.
Их произведение:
(10a + b)(10b + a) = 1944.
Следует помнить, что a и b - это цифры, т.е. целые числа от 0 до 9.

101ab + 10a2 + 10b2 = 1944,
101ab + 10(a2 + b2) = 1944.

1) Второе слагаемое слева 10(a2 + b2) делится на 10, т.е. оканчивается цифрой 0,
следовательно, слагаемое 101ab должно иметь последнюю цифру 4, т.е. произведение ab оканчивается на 4.
Тогда возможны варианты
a = 1, b = 4;
a = 2, b = 2;
a = 2, b = 7;
a = 3, b = 8;
a = 4, b = 6;
a = 6, b = 9;
a = 8, b = 8.
Симметричные пары цифр рассматривать не имеет смысла, так как речь идет о произведении ab * ba.

2) Поскольку 10(a2 + b2) > 0 то
101ab < 1944, откуда следует, что ab < 20.
Тогда остается рассмотреть пары цифр
a = 1, b = 4;
a = 2, b = 2;
a = 2, b = 7.

Посчитаем произведения:
14 * 41 = 574,
22 * 22 = 484,
27 * 72 = 1944.

Искомое число 27 или же 72.

Добавлено (01.12.2011, 09:52)
---------------------------------------------
Первую задачу сначала проанализируем.
Речь может идти только о трехзначном или четырехзначном числе.
Действительно, сумма цифр любого двузначного меньше 20,
но 5760:20 = 288 > 99 - искомое число не может быть двузначным.
С другой стороны, произведение пятизначного числа на любое положительное целое,
каковым является сумма его цифр не может оказаться четырехзначным числом 5760.

Допустим, искомое число abc состоит из трех цифр a, b и c, тогда по условию задачи
(100a + 10b + c)(a + b + c) = 5760.

Так как произведение должно оканчиваться на 0, то возможны ситуации:

1) Сумма цифр a + b + c оканчивается цифрой 0, но для трехзначного чила это возможно, лишь в случаях:
а) a + b + c = 10, но тода abc = 5760:10 = 576 и a + b + c = 5 + 7 + 6 = 18;
b) a + b + c = 20, но тода abc = 5760:20 = 288 и a + b + c = 2 + 8 + 8 = 18.
2) Само число abc оканчивается на 0, то есть, c = 0, тогда
(100a + 10b)(a + b) = 5760,
10(10a + b)(a + b) = 5760,
(10a + b)(a + b) = 576,
10a2 + 11ab + b2 = 576.

Из последних двух равенств можно сделать выводы:
- 10a2 < 576, т.е. a2 < 58 < 64 и a < 8.
- последняя цифра произведения b(a + b) равна 6, т.е. либо b - четно, либо a и b одновременно нечетны.
Далее, очевидно, следует хлопотная процедура перебора цифр a и b, отвечающих этим условиям...

Попробуем зайти с другой стороны. Разложим 576 на множители:
576 = 2*288 =2*2*144 = 2*2*12*12 = 2*2*2*2*2*2*3*3.
Вчастности, получается равенство 576 = 48*12.
Заметив, что 4 + 8 = 12, приходим к выводу abc=480.

Не исключено, что задача может иметь и другие решения, так как мы проанализировали не все возможные варианты.


Гость
Дата: Пятница, 06.01.2012, 15:10 | Сообщение # 3

кaк нaйти сумму цифр числa 31323334...7980


Julia
Дата: Пятница, 06.01.2012, 20:38 | Сообщение # 4

3*9+4*10+5*10+6*10+7*10+8+5*(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=27+22*10+5*45=472


Гость
Дата: Вторник, 24.07.2012, 15:19 | Сообщение # 5

а вы знаете, что вторую задачу про сумму цифр равную 5760 решили не правильно!!! там ответ 384


Admin
Дата: Среда, 25.07.2012, 12:07 | Сообщение # 6

Уважаемый гость!
Вы не совсем правы.

Во-первых, почему вы утверждаете, что задача решена не правильно?
Условие: "произведение числа и суммы его цифр равно 5760. Найти это число."
Ответ: "Это число 480."
Проверка: 480*(4+8+0)=480*12=5760.
Что не правильно???

Во-вторых, читайте внимательно! Вконце решения примечание:
"Не исключено, что задача может иметь и другие решения, так как мы проанализировали не все возможные варианты."
Т.е. автор решения нашел число, удовлетворяющее условию, но не исключает того, что таких чисел может быть несколько.
Думаю, претензии к нему неуместны.

"Не правильно" тут, конечно, есть. И оно состоит в следующем:
Берем число 384, находим сумму его цифр 3+8+4=15, умножаем число 384 на сумму его цифр и получаем 5760, пишем задачу "произведение числа и суммы его цифр равно 5760. Найти это число." и к ней ответ 384.
Это правильно???

Будьте любезны предоставить координаты первоисточника сей задачи.

Undefined
author: 
admin
Категория: