You are here

Угол между прямой и плоскостью, задача 10 класс


lilechka1111
Дата: Вторник, 18.03.2014, 23:21 | Сообщение # 1

Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K на сторону BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата.


Admin
Дата: Среда, 19.03.2014, 00:36 | Сообщение # 2

300. Используется теорема о трех перпендикулярах и прямоугольный треугольник у которого катет вдвое меньше гипотенузы.


lilechka1111
Дата: Среда, 19.03.2014, 11:09 | Сообщение # 3

Admin, большое спасибо! Со вторым, у которого катет вдвое меньше гипотенузы, все понятно. Но можно поподробнее о том, как использовать теорему о трех перпендикулярах?


Admin
Дата: Среда, 19.03.2014, 12:07 | Сообщение # 4

Точнее обратная теорема о трех перпендикулярах: "Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной." Хотя вы правы, она тут ни к чему... Все намного проще.

Перпендикуляр КН к сторне ВС квадрата является наклонной к плоскости квадрата его длина 6, а вместе с проекцией АН и перпендикуляром АК длины 3 он образует прямоугольный треугольник, угол КАН которого и есть углом между наклонной и плоскостью квадрата.

А теорема о трех перпендикулярах в этой задаче позволяет доказать, что основание Н перпендикуляра совпадает с вершиной В квадрата, но этот факт не имеет отрношения к решению.


lilechka1111
Дата: Среда, 19.03.2014, 12:39 | Сообщение # 5

Вот такой рисунок у меня получается.
Треугольник AKH прямоугольный, так как угол А равен 90 градусов. АК катет, равный 3. НК гипотенуза, равная шести. Сл-но угол Н равен 30 градусов.
А как доказать, что угол Е тоже 30 градусов?


Admin
Дата: Среда, 19.03.2014, 14:27 | Сообщение # 6

Ну тогда следует Все-таки обратиться к теореме о трех перпендикулярах.

Так как КН - перпендикуляр к ВС, то проекция АН тоже перпендикуляр к ВС, но на самом деле перпендикуляром к ВС является АВ. А как известно в плоскости АВС из точки А к ВС можно провести только один перпендикуляр, следовательно, АН совпадает с АВ, а Н совпадает с В.

Аналогично доказывается, что Е совпадает с D. Вследстви того, что АВСD квадрат, AD = AB, что доказывает равенство прямоугольных треугольников KAD (он же КАЕ) и KAB (он же КАН), т.е., в наших обозначениях, угол Е равен углу Н.


lilechka1111
Дата: Среда, 19.03.2014, 14:34 | Сообщение # 7

Огромное спасибо! Теперь все понятно.

Undefined
author: 
admin
Категория: