You are here

Пиковая дама


delphin
Дата: Суббота, 23.10.2010, 13:48 | Сообщение # 1

Г-н Германн играет в казино в Black-Jak на одну ставку (в одиночку).
После того как крупье сдал Германну тройку, а себе пиковую даму,
г-н Германн еще дважды просил карту и получил семерку и туза,
вследствии чего у него получилось 21 (или 11) очко.
На этой сумме Германн остановился и крупье начал добавлять карты себе.
Какова вероятность того, что г-н Германн выиграет с этой раздачи?

Добавлено (23.10.2010, 13:47)
---------------------------------------------
Решение.

В сложившейся ситуации крупье обязан брать карты до тех, пор пока не превысит суммы
очков, получившейся у игрока, и возможны три исхода игры:

1. Крупье сдаст себе туза к даме, то-есть получит комбинацию, именуемую Black-Jak,
которая побеждает все остальные комбинации карт. В этом случае г-н Германн проигрывает.

2. Крупье будет брать себе карты, пока не получится ровно 21 очко (но не Black-Jak).
В этом случае получится ничья и оба останутся при своих.

3. Крупье будет брать себе карты, пока не получится больше, чем 21 очко, то-есть перебор .
В этом случае выигрывает г-н Германн.

Так как исход №3 требует перебора огромного количества комбинаций,
то будем искать вероятность р, того что Германн не выиграет (проиграет или останется при своих),
а потом вычтем ее из 1.

Вероятность первого исхода игры просчитать проще ввсего:
в колоде осталось 48 карт (всех - 52, у Германна - 3, у крупье - 1), из них 3 туза, так как четвертый у Гермнна.
Значит вероятность віигрыша крупье: 3/48=1/16=0,0625.

Вероятность ничьи. Набрать 21 (не Black-Jak) можно не менее чем с трех карт, поэтому выделим отдельные
независимые один от другого случаи, в зависимости от второй карты, которую возьмет крупье.
А потом сложим вероятности ничьи при каждом из них.

1) Вторая карта - 10 очков (десятка, король, дама или валет),
вероятность такой ситуации (4+4+3+4)/48=15/48=5/16=0,3125.
При этом ничья может получиться только если третья карта - туз (11 или 1 очко по надобности),
вероятность такой ситуации 3/47.
Общая вероятность ничьи в этом случае 0,3125*3/47.

2) Вторая карта - девятка, вероятность такой ситуации 4/48=1/12.
При этом ничья может получиться если третья карта - двойка,
вероятность такой ситуации 4/47, или же два туза подряд, вероятность - (3/47)*(2/46).
Общая вероятность ничьи в этом случае (1/12)*(4/47 + (3/47)*(2/46)).

3) Вторая карта - восьмерка, вероятность такой ситуации 4/48=1/12.
При этом ничья может получиться если третья карта - тройка,
вероятность такой ситуации 3/47, или же двойка и туз подряд, вероятность - (4/47)*(3/46),
или же туз и двойка подряд, вероятность - (3/47)*(4/46),
или, наконец, три туза подряд, вероятность - (3/47)*(2/46)*(1/45).
Общая вероятность ничьи в этом случае
(1/12)*(3/47 + (4/47)*(3/46) + (3/47)*(4/46) + (3/47)*(2/46)*(1/45)).

4) Вторая карта - семерка, вероятность такой ситуации 3/48=1/16=0,0625.
При этом ничья может получиться если третья карта - четверка,
вероятность такой ситуации 4/47, или же две двойки подряд, вероятность - (4/47)*(3/46),
или же тройка и туз подряд, вероятность - (3/47)*(3/46),
или, наоборот, туза и тройка подряд, вероятность та же - (3/47)*(3/46),
и наконец - двойка и два туза в любой из трех возможных последовательностей
вероятность: 3*(4/47)*(3/46)*(2/45)
Общая вероятность ничьи в этом случае
(1/16)*(4/47 + (4/47)*(3/46) + 2*(3/47)*(3/46) + 3*(4/47)*(3/46)*(2/45)).

Добавлено (23.10.2010, 13:47)
---------------------------------------------
5) Вторая карта - шестерка, вероятность такой ситуации 4/48=1/12.
При этом ничья может получиться если третья карта - пятерка,
вероятность такой ситуации 4/47, или же двойка и тройка или наоборот, вероятность - 2*(4/47)*(3/46),
либо четверка и туз или наоборот, вероятность - 2*(4/47)*(3/46)
а также тройка и два туза в разных последовательностях, вероятность - 3*(3/47)*(3/46)*(2/45),
или двойка и три туза в разных последовательностях, вероятность - 4*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44),
и, наконец, две двойки и туз в разных последовательностях, вероятность - 3*(4/47)*(3/46)*(3/45).
Общая вероятность ничьи в этом случае
(1/12)*(4/47 + 4*(4/47)*(3/46) + 3*(3/47)*(3/46)*(2/45) + 4*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44) + 3*(4/47)*(3/46)*(3/45)).

6) Вторая карта - пятерка, вероятность такой ситуации 4/48=1/12.
При этом ничья может получиться если третья карта - шестерка,
вероятность такой ситуации 4/47, или две тройки, вероятность (3/47)*(2/46)
либо пятерка и туз или наоборот, вероятность - 2*(3/47)*(3/46)
или же четверка и двойка или наоборот, вероятность - 2*(4/47)*(3/46),
а также четверка и два туза в разных последовательностях, вероятность - 3*(4/47)*(3/46)*(2/45),
или тройка и три туза в разных последовательностях, вероятность - 4*(3/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44),
а также три двойки вероятность - (4/47)*(3/46)*(2/45), и, наконец, две двойки и два туза
в разных последовательностях, вероятность - 6*(4/47)*(3/46)*(3/45)*(2/44).
Общая вероятность ничьи в этом случае
(1/12)*(4/47 + (3/47)*(3/46) + 2*(3/47)*(3/46) + 2*(4/47)*(3/46) + 3*(4/47)*(3/46)*(2/45) +
+ 4*(3/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44) + (4/47)*(3/46)*(2/45) + 6*(4/47)*(3/46)*(3/45)*(2/44)).

7) Вторая карта - четверка, вероятность такой ситуации 4/48=1/12.
При этом ничья может получиться если третья карта - семерка,
вероятность такой ситуации 3/47, либо шестерка и туз или наоборот, вероятность - 2*(4/47)*(3/46)
или же пятерка и двойка или наоборот, вероятность - 2*(4/47)*(4/46),
а также пятерка и два туза в различных последовательностях, вероятность - 3*(4/47)*(3/46)*(2/45),
или четверка и три туза в разных последовательностях, вероятность - 4*(3/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44),
а также четверка и тройка или наоборот вероятность - 2*(3/47)*(3/46)
и четверка и двойка и туз, вероятность - 6*(3/47)*(4/46)*(3/45).
Кроме того, три двойки и туз в различных последовательностях 4*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(3/44),
и две тройки и туз в различных последовательностях 3*(3/47)*(2/46)*(3/45), и
две двойки и тройка в различных последовательностях 3*(4/47)*(3/46)*(3/45),
и две двойки и три туза в различных последовательностях 4*(4/47)*(3/46)*(3/45)*(2/44)*(1/43),
Общая вероятность ничьи в этом случае
(1/12)*(3/47 + 2*(4/47)*(3/46) + 2*(4/47)*(4/46) + 3*(4/47)*(3/46)*(2/45) +
+ 4*(3/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44) + 2*(3/47)*(3/46) + 4*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(3/44) + 6*(3/47)*(4/46)*(3/45)+
+ 3*(3/47)*(2/46)*(3/45) + 3*(4/47)*(3/46)*(3/45) + 4*(4/47)*(3/46)*(3/45)*(2/44)*(1/43)).

Добавлено (23.10.2010, 13:48)
---------------------------------------------
8) Вторая карта - тройка, вероятность такой ситуации 3/48=1/16.
При этом ничья может получиться если третья карта - восьмерка,
вероятность такой ситуации 4/47, либо семерка и туз или наоборот, вероятность - 2*(3/47)*(3/46)
или же шестерка и двойка или наоборот, вероятность - 2*(4/47)*(4/46),
а также шестерка и два туза в различных последовательностях, вероятность - 3*(4/47)*(3/46)*(2/45),
или пятерка и три туза в разных последовательностях, вероятность - 4*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44),
а также пятерка и тройка или наоборот вероятность - 2*(4/47)*(2/46)
и пятерка и двойка и туз, вероятность - 6*(4/47)*(4/46)*(3/45).
А также, две четверки, вероятность - (4/47)*(3/46),
четверка, тройка и туз в разных последовательностях, вероятность - 6*(4/47)*(2/46)*(3/45),
четверка и две двойки в разных последовательностях, вероятность - 3*(4/47)*(4/46)*(3/45),
тройка, две двойки и туз в разных последовательностях, вероятность - 12*(2/47)*(4/46)*(3/45)*(3/44),
две тройки и двойка в разных последовательностях, вероятность - 3*(2/47)*(1/46)*(4/45),
две тройки и два туза в разных последовательностях, вероятность - 6*(2/47)*(1/46)*(3/45)*(2/44),
три двойки и два туза в разных последовательностях, вероятность - 10*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(3/44)*(2/43),
и, наконец, четыре двойки, вероятность - (4/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44).
Общая вероятность ничьи в этом случае
(1/16)*(4/47 + 2*(3/47)*(3/46) + 2*(4/47)*(4/46) + 3*(4/47)*(3/46)*(2/45) +
+ 4*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44) + 2*(4/47)*(2/46) + (4/47)*(3/46) + 6*(4/47)*(2/46)*(3/45) +
+ 3*(4/47)*(4/46)*(3/45) + 12*(2/47)*(4/46)*(3/45)*(3/44) + 3*(2/47)*(1/46)*(4/45) + 6*(4/47)*(4/46)*(3/45) +
+ 6*(2/47)*(1/46)*(3/45)*(2/44) + 10*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(3/44)*(2/43) + (4/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44)).

9) И последнее: вторая карта - двойка, вероятность такой ситуации 4/48=1/12.
При этом ничья может получиться если третья карта - девятка,
вероятность такой ситуации 4/47, либо восьмерка и туз или наоборот, вероятность - 2*(4/47)*(3/46)
или же семерка и двойка или наоборот, вероятность - 2*(3/47)*(3/46),
а также семерка и два туза в различных последовательностях, вероятность - 3*(3/47)*(3/46)*(2/45),
или шестерка и три туза в разных последовательностях, вероятность - 4*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44),
а также шестерка и тройка или наоборот вероятность - 2*(4/47)*(3/46) и
шестерка, двойка, туз, вероятность - 6*(4/47)*(3/46)*(3/45).
А также, пятерка и четверка и наоборот, вероятность - 2*(4/47)*(4/46),
пятерка, тройка, туз, вероятность 6*(4/47)*(3/46)*(3/45),
пятерка, двойка, два туза, вероятность 6*(4/47)*(3/46)*(3/45)*(2/44),
пятерка и две двойки, вероятность 3*(4/47)*(3/46)*(2/45),
две четверки и туз в разных последовательностях, вероятность - 3*(4/47)*(3/46)*(3/45),
четверка тройка и два туза в разных последовательностях, вероятность - 12*(4/47)*(3/46)*(3/45)*(2/44),
четверка, тройка, двойка в разных последовательностях, вероятность - 6*(4/47)*(3/46)*(3/45).
И, наконец, три тройки, вероятность - (3/47)*(2/46)*(1/45),
две тройки и три туза в разных последовательностях, вероятность - 10*(3/47)*(2/46)*(3/45)*(2/44)*(1/43),
две тройки, двойка туз в разных последовательностях, вероятность - 12*(3/47)*(2/46)*(4/45)*(1/44),
три двойки и три туза в разных последовательностях, вероятность - 20*(3/47)*(2/46)*(1/45)*(3/44)*(2/43)*(1/42),
три двойки и тройка разных последовательностях, вероятность - 4*(3/47)*(2/46)*(1/45)*(3/44).
Общая вероятность ничьи в этом случае:
1/12*(4/47+ 2*(4/47)*(3/46) + 2*(3/47)*(3/46) + 3*(3/47)*(3/46)*(2/45) + 4*(4/47)*(3/46)*(2/45)*(1/44) +
+ 2*(4/47)*(3/46) + 6*(4/47)*(3/46)*(3/45) + 2*(4/47)*(4/46) + 6*(4/47)*(3/46)*(3/45) +
+ 6*(4/47)*(3/46)*(3/45)*(2/44) + 3*(4/47)*(3/46)*(2/45) + 3*(4/47)*(3/46)*(3/45) +
+ 12*(4/47)*(3/46)*(3/45)*(2/44) + 6*(4/47)*(3/46)*(3/45) + (3/47)*(2/46)*(1/45) +
+ 10*(3/47)*(2/46)*(3/45)*(2/44)*(1/43) + 12*(3/47)*(2/46)*(4/45)*(1/44) +
+ 20*(3/47)*(2/46)*(1/45)*(3/44)*(2/43)*(1/42) + 4*(3/47)*(2/46)*(1/45)*(3/44)).

Сложив вероятности всех девяти случаев ничьи (в Excel, например), получим приблизительно 0,086235361
Итак: вероятность выигрыша г-на Германна p = 1 - (0,0625 + 0,086235361) = 0,851264639, то есть, примерно 85%.


Admin
Дата: Суббота, 23.10.2010, 20:09 | Сообщение # 2

Ничего себе!...
Во как человек стремиться в конкурсе победить!


Admin
Дата: Суббота, 23.10.2010, 20:18 | Сообщение # 3

А вообще-то, похвально: и сюжет - под классику, и задачка - не из легких...
Можно было и поскромнее вопрос сформулировать, например про выигрыш крупье,
а то на основании этой задачи можно пол-раздела задачника по "теор-вер" нашлепать.
Но будем считать, что главный претендент на приз объявился.

Насчет решения. Решение принципиально правильное, надеюсь,
что ни одной комбинации delphin в своих подсчетах не пропустил,
а то пересчитывать - уж слишком хлопотно.
Он сам наверняка на это решение сутки три угробил... Да, delphin?

Ну и недостаток - сложить вероятности "в Excel, например," противоречит духу сайта -
так что хотелось бы увидеть это "дробное сложение", как говорится, "во всей красе".


delphin
Дата: Пятница, 05.11.2010, 21:12 | Сообщение # 4

Как правильно писать дроби на форуме? Рисунком?


Admin
Дата: Воскресенье, 14.11.2010, 16:49 | Сообщение # 5

Я использую сервис chart.apis.google.com
Вставляем рисунок, а вместо адреса записываем http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=<текст формулы>
Если, вы конечно пробовали пользоваться TeX-ом.
Дробь пишется \frac{числитель}{знаменатель}


Admin
Дата: Среда, 24.11.2010, 22:44 | Сообщение # 6

Дима! Когда сможем лицезреть точное решение с дробьями?


Shuler
Дата: Пятница, 03.12.2010, 13:52 | Сообщение # 7

Это все, конечно очень занимательно-запутано.
И, вроде с точки зрения теории вероятности верно, но...
Все дело в том, что в настоящий Black-Jak играют ШЕСТЬЮ колодами перетасованными вместе.
Причем примерно половина этой сборной колоды срезается и в игре вообще не принимает участия.


Эльмира
Дата: Среда, 15.12.2010, 23:25 | Сообщение # 8

Помогите мне пожалуйста решить задачу по телрии вероятности!!!!!!!!!!


Admin
Дата: Четверг, 16.12.2010, 13:19 | Сообщение # 9

А где задача?

Undefined
author: 
admin
Категория: